Archimede, ti meriti un bel dieci!
Dieci, come i dieci comandamenti, come il titolo di un film degli anni ’70, il numero assegnato ai fagioli nella smorfia napoletana, il voto più desiderato a scuola, Il numero di maglia più prestigioso fra i calciatori: Maradona, Pelè, Platini, Zico, Messi, Rivera,Totti,Baggio. Dieci sono anche gli anni della Biblioteca Archimede.
Ma dieci è soprattutto un numero, una entità astratta, che può rappresentare , quantità, ordine , rapporto. “Dieci” è la proprietà in comune a qualsiasi insieme costituito da dieci elementi.
Un ramo della matematica , la teoria dei numeri, studia le proprietà dei numeri, gli interi nello specifico. Nella sua veste creativa, è un autentico parco di divertimenti per i matematici amanti delle ricorrenze, delle analogie, delle similitudini.
Proviamo a divertirci un po’ anche noi , col numero dieci.
“1010 ” : anche questo è un dieci.
No, non vedo doppio: è il valore dieci rappresentato in notazione binaria.
Sistema decimale Sistema binario
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
8 1000
9 1001
10 1010
DIGRESSIONE 1
“10” in codice binario corrisponde al numero 2 . Le potenze di due in codice binario si scrivono con un uno seguito da soli zeri ; come le potenze di dieci nel sistema decimale
Il simbolo “A“, (A come Archimede! ) è il numero dieci in notazione esadecimale, croce e delizia dei programmatori d’altri tempi.
“X” anche questo è dieci, in numeri romani.
Il sistema decimale è la base del sistema numerico e base dei sistemi di misurazione. Prendiamo ad esempio le unità di lunghezza:
millimetro ,centimetro,decimetro,metro,decametro,ettometro,chilometro … ogni termine è dieci volte maggiore del precedente. Ora seguirebbe il miriametro 10.000 m.
“Miriade” , un termine antico almeno quanto Archimede, se non di più , ma caduto in disuso.
Le potenze di dieci corrispondono a prefissi che esprimono multipli di unità di misura :
x 10 deca ;
x 102 etto ettolitro ettogrammo…
x 103 chilo chilometro, chilogrammo
x 106 mega megabyte
x 109 giga gigahertz, (Hertz unità di misura della frequenza )
x 1012 tera (numero mostruoso ) : terabyte teraWatt
anche quelle negative ( 10 - n = 1/10 n )
x 10-1 deci decilitro
x 10-2 centi centrimetro
x 10-3 milli mmol millimole, mg milligrammo
x 10-6 micro microgrammo
Archimede, matematico, fisico, ingegnere , avrebbe sicuramente apprezzato i logaritmi. Forse per i suoi calcoli pratici si sarebbe servito delle tavole di Brigg , i logaritmi a base dieci.
DIGRESSIONE 2
Probabilmente Archimede le approssimazioni, da buon ingegnere le tollerava solo da un punto di vista pratico, non certo come matematico. Se, poniamo, come costruttore di macchine si poteva accontentare di un rapporto circonferenza/diametro approssimanto alla seconda cifra (3,14 ad esempio) come matematico intuiva che la ricerca della verità in geometria e in matematica richiedesse indagini più profonde.
Significativo di ciò la definizione a lui attribuita della sfera : “solido riempito da tutte le sue sezioni circolari parallele”; come anche i tentativi di approssimare la circonferenza con poligoni iscritti da un numero di lati sempre maggiore o la sfera con poliedri iscritti con un sempre maggiore numero di facce.
I concetti di limite, derivata, integrale, alla base della moderna analisi matematica erano in Archimede molto di più che semplici intuizioni.
La somma dei primi tre numeri primi? 2 +3 +5 =10.
10 è somma di due quadrati: 12+32 = 10 10 può essere la differenza di due quadrati? In questo caso la coppia di numeri a disposizione da sottoporre a verifica è più ampia, farebbe ben sperare: esistono due numeri interi a e b tali che a2-b2 =10 ? Lo si può dimostrare, o forse dimostrare che non esiste una tale coppia.
10 fa parte di una terna pitagorica 6, 8, 10: infatti 6^2 +8^2 =10^2 36 + 64 = 100
10 è il quarto numero triangolare , ovvero la somma dei primi quattro numeri interi: 1 +2 +3 +4 =10
Si, ma perché “triangolare” ? Guarda prossima la figura.
Tetraktys, dieci elementi disposti a triangolo equilatero: un simbolo sacro per i pitagorici, sul quale prestavano giuramento .
1
1 +2 =3
1 +2 +3=6
1 +2 +3 +4 =10
1 +2 +3 +4 +5 =15
Il 2016 è un numero triangolare, il sessantatreesimo della serie , ma è stato anche l’anno del 6° compleanno della Biblitoeca Archimede ; 6 è il 3° numero triangolare; anche il numero 3 è triangolare, il 2° della serie. (Qui ci fermiamo: 2 non è triangolare. )
DIGRESSIONE 3
La formula per ottenere il valore dell’ n-esimo triangolare è Tn = 0,5 x n x (n+1)
Come verificare che un numero T è triangolare ? Risolvere rispetto a n l’equazione :
n2 + n – 2T = 0 Se n è un intero allora T è triangolare.
La parola “Archimede “ è lunga dieci caratt… Ah… No scusate, un errore.
Dieci è un numero tetraedrico : 1+3+6= 10. Cosa significa ? Anche qui è sufficiente una immagine .
Si può notare che l’ n-esimo numero tetraedrico è somma dei primi n numeri triangolari.
DIGRESSIONE 4
Il tetraedro è un solido platonico, ma smussando opportunamente i suoi quattro vertici si ottiene il tetraedro tronco, un solido archimedeo, con quattro facce esagonali e quattro triangolari. Con analogo procedimento il platonico icosaedro (20 facce triangolari equilatere , tutte uguali ) diventa l’archimedeo icosaedro tronco, la classica forma del pallone di calcio, con 12 facce pentagonali e 20 esagonali. Come la struttura del fullerene, ai cui vertici c’è un atomo di carbonio : C60
I solidi platonici (detti anche poliedri regolari convessi, sono in tutto cinque ) hanno facce tutte uguali di poligoni regolari . Le facce dei solidi Archimedei sono sempre poligoni regolari ma con un diverso numero di lati. Il tetraedro tronco ad esempio ha 4 facce esagonali e 4 triangolari.
In conclusione possiamo dire che il dieci si è rivelato un numero interessante. Tanto che , al pari di Archimede e del suo “ Eureka! “ vorremmo sempre accompagnarlo con un bel punto esclamativo: 10 ! Meglio di no. I matematici non sarebbero d’accordo . Il simbolo “! “ in matematica ha un preciso utilizzo. 10 ! = 2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 = 3.628.800. In matematica n! si legge “ n fattoriale” ed è il prodotto dei primi n numeri interi… escludendo lo zero ovviamente!
Tanti auguri Biblioteca Archimede! 10 di questi giorni!
A cura di Sergio Biondini